Нерівність типу Вімана для аналітичних та цілих функцій і h -міра виняткових множин

Abstract

Нехай E R

− клас аналітичних функцій f , представлених степеневими рядами вигляду f ( z ) = + ∞ ∑ n = 0

a n z n з радіусом збіжності R := R ( f ) ∈ ( 0 ; + ∞ ] . Для r ∈ [ 0 , R ) через M f ( r ) = max { | f ( z ) | :

| z | = r } та μ f ( r ) = max { | a n | r n : n ≥ 0 } відповідно позначимо максимум модуля і максимальний член степеневого ряду. Через H R , R ≤ + ∞ , також позначимо клас неперервних додатних функцій, що зростають на інтервалі [ 0 ; R ) до + ∞ і таких, що h ( r ) ≥ 2 для всіх r ∈ ( 0 , R ) і ∫ R r 0 h ( r ) d ln r = + ∞ для деякого r 0 ∈ ( 0 , R ) . Доведено, зокрема, такі твердження.

1 0 . Якщо h ∈ H R і f ∈ E R , то для довільного δ > 0 існують E ( δ , f , h ) := E ⊂ ( 0 , R ) , r 0 ∈ ( 0 , R ) , такі що ∀

r ∈ ( r 0 , R ) ∖ E :

M f ( r ) ≤ h ( r ) μ f ( r ) { ln h ( r ) ln ( h ( r ) μ f ( r ) ) } 1 / 2 + δ та ∫ E h ( r ) d ln r < + ∞ . 2 0 . Якщо додатково припустити, що функція f ∈ E R необмежена, то співвідношення ln M f ( r ) ≤ ( 1 + o ( 1 ) ) ln ( h ( r ) μ f ( r ) ) виконується при r → R , r ∉ E .

Зауважимо, що з твердження 1 0 при h ( r ) ≡ const випливає класична теорема Вімана-Валірона для цілих функцій, а при h ( r ) ≡ 1 / ( 1 − r )

− теорема про нерівність типу Кеварі для аналітичних функцій в одиничному крузі. З твердження 2 0 у випадку, коли ln h ( r ) = o ( ln μ f ( r ) ) , r → R , отримуємо, що співвідношення ln M f ( r ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ln μ f ( r ) виконується при r → R , r ∉ E .