Про критерій збіжності для гіллястого ланцюгового дробу

Abstract

Основою цієї роботи є результат Є.А. Болтаровича (1989) про множини збіжності для гіллястого ланцюгового дробу N ∑ i 1 = 1

a i ( 1 ) 1 + N ∑ i 2 = 1

a i ( 2 ) 1 + … + N ∑ i n = 1

a i ( n ) 1 + … , де | a i ( 2 n − 1 ) | ≤ α / N ,

i p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , N ,

p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , 2 n − 1 ,

n ≥ 1 , і для кожного мультиіндексу i ( 2 n − 1 ) існує єдиний індекс j 2 n ,

1 ≤ j 2 n ≤ N , такий, що | a i ( 2 n − 1 ) , j 2 n | ≥ R ,

i p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , N ,

p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , 2 n − 1 ,

n ≥ 1 , та | a i ( 2 n ) | ≤ r / ( N − 1 ) ,

i 2 n ≠ j 2 n ,

i p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , N ,

p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , 2 n ,

n ≥ 1 , де N > 1 ,

α ,

r та R -- дійсні числа, що задовольняють певні умови. У цій роботі умови для цих множин замінено на ∑ N i 1 = 1 | a i ( 1 ) | ≤ α ( 1 − ε ) ,

∑ N i 2 n + 1 = 1 | a i ( 2 n + 1 ) | ≤ α ( 1 − ε ) ,

i p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , N ,

p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , 2 n ,

n ≥ 1 , і для кожного мультиіндексу i ( 2 n − 1 ) існує єдиний індекс j 2 n ,

1 ≤ j 2 n ≤ N , такий, що | a i ( 2 n − 1 ) , j 2 n | ≥ R та ∑ i 2 n ∈ { 1 , 2 , … , N } ∖ { j 2 n } | a i ( 2 n ) | ≤ r ,

i p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , N ,

p = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 , 2 n − 1 ,

n ≥ 1 , де ε ,

α ,

r та R

− дійсні числа, що задовольняють певні умови, і, отримано кращі оцінки швидкості збіжності для цього гіллястого ланцюгового дробу.