Достатні умови покращеного регулярного зростання цілих функцій в термінах їх усереднення

Abstract

Нехай f

− ціла функція порядку ρ ∈ ( 0 , + ∞ ) з нулями на скінченній системі променів { z : arg z = ψ j } , j ∈ { 1 , … , m } , 0 ≤ ψ 1 < ψ 2 < … < ψ m < 2 π і h ( φ )

− її індикатор. У 2011 році автор цієї статті довів, що якщо f є функцією покращеного регулярного зростання (ціла функція f називається функцією покращеного регулярного зростання, якщо для деяких ρ ∈ ( 0 , + ∞ ) , ρ 1 ∈ ( 0 , ρ ) і 2 π -періодичної ρ -тригонометрично опуклої функції h ( φ ) ≢ − ∞ існує множина U ⊂ C , яка міститься в об'єднанні кругів із скінченною сумою радіусів така, що log | f ( z ) | = | z | ρ h ( φ ) + o ( | z | ρ 1 ) , U ∌ z = r e i φ → ∞ ), то для деякого ρ 3 ∈ ( 0 , ρ ) співвідношення ∫ r 1 log | f ( t e i φ ) | t d t = r ρ ρ h ( φ ) + o ( r ρ 3 ) , r → + ∞ , виконується рівномірно за φ ∈ [ 0 , 2 π ] . В даній роботі, використовуючи метод коефіцієнтів Фур'є, ми встановлюємо обернене твердження, а саме, якщо для деякого ρ 3 ∈ ( 0 , ρ ) останнє асимптотичне співвідношення виконується рівномірно за φ ∈ [ 0 , 2 π ] , то f є функцією покращеного регулярного зростання. Це доповнює аналогічні результати Б. Левіна, А. Гришина, А. Кондратюка, Я. Васильківа та Ю. Лапенка про функції цілком регулярного зростання.