Параболічні системи типу Шилова із коефіцієнтами обмеженої гладкості та невід'ємним родом

Abstract

На відміну від параболічних за Петровським систем, параболічні за Шиловим системи, взагалі кажучи, є параболічно нестійкими до зміни своїх коефіцієнтів. Саме тому сучасна теорія задачі Коші для систем класу Шилова розвинена на рівні систем із сталими, або залежними лише від часу t коефіцієнтами. Проблема побудови теорії задачі Коші для таких систем із змінними коефіцієнтами досі залишається відкритою. У даній роботі розглянуто новий клас лінійних параболічних систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за t із змінними коефіцієнтами, який повністю охоплює клас Шилова систем з коефіцієнтами, залежними від t та невід'ємним родом. Головна частина диференціального виразу стосовно просторової змінної x кожної такої системи є параболічним за Шиловим виразом, коефіцієнти якого залежать від t тоді, як коефіцієнти групи молодших членів можуть залежати ще й від просторової змінної. Методом послідовного наближення побудовано фундаментальний розв'язок задачі Коші для систем із цього класу. З'ясовано умови мінімальної гладкості на коефіцієнти системи за змінноюx, за яких існує фундаментальний розв'язок, досліджено його гладкість та одержано оцінки похідних цього розв'язку. Зазначені результати є важливими, зокрема, для встановлення коректної розв'язності задачі Коші для таких систем у різних функціональних просторах, одержанні форм зображення розв'язку цієї задачі та дослідженні його властивостей.