Області збіжності загальних рядів Діріхле з комплексними показниками

Abstract

Нехай ( λ n )

− послідовність попарно різних комплексних чисел. Для формального ряду Діріхле F ( z ) = + ∞ ∑ n = 0

a n e z λ n , z ∈ C , через G μ ( F ) ,

G c ( F ) ,

G a ( F ) позначимо області існування, збіжності та абсолютної збіжності максимального члена μ ( z , F ) = max { | a n | e R ( z λ n ) : n ≥ 0 } , відповідно.

Позначимо N 1 ( z ) := { n : R ( z λ n ) > 0 } ,

N 2 ( z ) := { n : R ( z λ n ) < 0 } , α ( 1 ) ( θ ) := lim ––––

n → + ∞ n ∈ N 1 ( e i θ )

− ln | a n | R ( e i θ λ n ) , α ( 2 ) ( θ ) := ¯¯¯¯¯¯¯¯ lim n → + ∞ n ∈ N 2 ( e i θ )

− ln | a n | R ( e i θ λ n ) . Припустимо, що a n → 0 при n → + ∞ . У статті, зокрема, доведено наступні твердження.

1 ) Якщо α ( 2 ) ( θ ) < α ( 1 ) ( θ ) для деякого θ ∈ [ 0 , π ) , то { t e i θ : t ∈ ( α ( 2 ) ( θ ) , α ( 1 ) ( θ ) ) } ⊂ G μ ( F ) , а також { t e i θ : t ∈ ( − ∞ , α ( 2 ) ( θ ) ) ∪ ( α ( 1 ) ( θ ) , + ∞ ) } ∩ G μ ( F ) = ∅ . 2 )

G μ ( F ) = ⋃ θ ∈ [ 0 , π )

{ z = t e i θ : t ∈ ( α ( 2 ) ( θ ) , α ( 1 ) ( θ ) ) } . 3 ) Якщо h := lim ––––

n → + ∞

− ln | a n | ln n ∈ ( 1 , + ∞ ] , то ( h h − 1 ⋅ G a ( F ) ) ⊃ G μ ( F ) ⊃ G c ( F ) . Якщо h = + ∞ , то G a ( F ) = G c ( F ) = G μ ( F ) , тому G c ( F ) також опукла область.