Субгаусові випадкові величини та нерівність Вімана для аналітичних функцій

Abstract

Нехай f

− аналітіична функція в { z : | z | < R } вигляду f ( z ) = + ∞ ∑ n = 0

a n z n . У статті доводиться нерівність типу Вімана для випадкових аналітичних функцій вигляду f ( z , ω ) = + ∞ ∑ n = 0

Z n ( ω ) a n z n , де ( Z n )

− послідовність на ймовірнісному просторі Штейнгауса дійсних незалежних центрованих субгаусових випадкових величин, тобто ( ∃ D > 0 )

( ∀ k ∈ N )

( ∀ λ ∈ R ) : E ( e λ Z k ) ≤ e D λ 2 , і таких, що ( ∃ β > 0 )

( ∃ n 0 ∈ N ) :

inf n ≥ n 0

E | Z n | − β < + ∞ . Доведено, що для кожного δ > 0 існує множина E ( δ ) ⊂ [ 0 , R ) скінченної логарифмічної h -міри (тобто ∫ E h ( r ) d ln r < + ∞ ) така, що майже напевно для всіх r ∈ ( r 0 ( ω ) , R ) ∖ E маємо M f ( r , ω ) := max { | f ( z , ω ) | : | z | = r } ≤ √ h ( r ) μ f ( r ) ( ln 3 h ( r ) ln { h ( r ) μ f ( r ) } ) 1 / 4 + δ , де h ( r )

− довільна фіксована неперервна неспадна на [ 0 ; R ) функція така, що h ( r ) ≥ 2 для всіх r ∈ ( 0 , R ) і ∫ R r 0 h ( r ) d ln r = + ∞ для деякого r 0 ∈ ( 0 , R ) .