Композиція цілої і аналітичної в одиничній кулі функцій

Abstract

У статті досліджується композиція цілої функції від багатьох комплексних змінних і аналітичної функції в одиничній кулі. У статті отримано певні нові версії встановлених раніше результатів, які містять умови, що забезпечують еквівалентність обмеженості L -індексу за напрямком такої композиції і обмеженість l -індексу початкової функції від однієї змінно, де L : B n → R +

− неперервна функція, побудована за неперервною функцією l : C m → R + . Застовуючи деякі нові ідеї з недавніх результатів про композиції цілих функцій, ми знімаємо умову, що похідна за напрямком від внутрішньої функції Φ в композиції не дорівнює нулю. Власне, цієї умови позбуваємося, будуючи більшу функцію L ( z ) , для якої F ( z ) = f ( Φ ( z ) , … , Φ ( z ) 

m раз

) має обмежений L -індекс за напрямком, де f : C m → C

− ціла функція обмеженого l -індексу за напрямком ( 1 , … , 1 ) , Φ : B n → C

− аналітична функція в одиничній кулі.

Ми послаблюємо умову | ∂ k b Φ ( z ) | ≤ K | ∂ b Φ ( z ) | k для всіх z ∈ B n , де K ≥ 1

− деяка стала, b ∈ C n ∖ { 0 }

− заданий напрямок, а ∂ b F ( z ) := n ∑ j = 1

∂ F ( z ) ∂ z j b j ,

∂ k b F ( z ) := ∂ b ( ∂ k − 1 b F ( z ) ) . Вказану умову замінюємо на умову | ∂ k b Φ ( z ) | ≤ K ( l ( Φ ( z ) ) ) 1 / ( N 1 ( f , l ) + 1 ) | ∂ b Φ ( z ) | k , де N 1 ( f , l )

−

l -індекс функції f за напрямком 1 = ( 1 , … , 1 ) . Отриманий результат покращує попередній результат і є також новим в одновимірному випадку n = 1 ,

m = 1 , тобто, якщо Φ є аналітичною функцією в одиничному крузі та f : C → C

− цілою функцією обмеженого l -індексу.