Про жорсткі диференціювання кілець

Abstract

Доведено, що в кільці R з одиницею існує елемент a ∈ R та ненульове диференціювання d ∈ D e r R такі, що a d ( a ) ≠ 0 . Кажуть, що R - d -жорстке кільце для деякого диференціювання d ∈ D e r R , якщо d ( a ) = 0 або a d ( a ) ≠ 0 для усіх a ∈ R . Досліджено кільця із жорсткими диференціюваннями та встановлено, що комутативне артінове кільце R або має нежорсткедиференціювання, або R = R 1 ⊕ ⋯ ⊕ R n - пряма сума кілець R 1 , … , R n , кожне з яких є полем або диференціально тривіальним v -кільцем. Доведення цього результату базується на тому факті, що в лівому досконалому кільці R з ненульовим радикалом Джекобсона J ( R ) для будь-якого диференціювання d ∈ D e r R такого, що d ( J ( R ) ) = 0 , випливає, що d = 0 R тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце R / J ( R ) - диференціально тривіальне поле.