Властивостi просторiв з вiдстанню, що задовольняють степеневi нерiвностi трикутника

Abstract

Метричнi простори забезпечують основу для математичного аналiзу i мають ряд дуже корисних властивостей. Багато з цих властивостей випливають зокрема з нерiвностi трикутника. Однак є багато застосувань, в яких нерiвнiсть трикутника не справджується, але в яких ми все ще можемо здiйснювати аналiз. У цiй статтi дослiджуємо, що трапиться, якщо нерiвнiсть три кутника вилучено з перелiку аксiом метрики, при цьому метричний простiр стає так званим простором з вiдстанню. Також нас цiкавить, що буде коли нерiвнiсть трикутника замiнена на бiльш загальне двохпараметричне спiввiдношення, яке ми називаємо степеневою нерiвнiстю трикутника. Таке узагальнення нерiвностi трикутника дає незлiченно великий клас нерiвностей, i включає при цьому звичайну нерiвнiсть трикутника, слабку нерiвнiсть трикутника та iнфраметричну нерiвнiсть як частиннi випадки. Степенева нерiвнiсть трикутника визначена в термiнах функцiї, яку ми називаємо степеневою трикутною функцiєю. Ця функцiя є неперервною i монотонною вiдносно свого експоненцiального параметру, є степеневим середнiм, i також включає як частиннi випадки максимум, мiнiмум, середнє квадратичне, середнє арифметичне, середнє геометричне i середнє гармонiйне.