Про збіжність розвинень відношень гіпергеометричних функцій Горна H 3 у гіллясті ланцюгові дроби

Abstract

Стаття присвячена дослідженню збіжності гіллястого ланцюгового дробу з двома гілками розгалужень, який використовується для наближення відношень гіпергеометричної функції Горна H 3 ( a , b ; c ; z ) . Розглянуто випадок дійсних параметрів c ≥ a ≥ 0 ,

c ≥ b ≥ 0 ,

c ≠ 0 і комплексної змінної z = ( z 1 , z 2 ) . Спочатку доведено збіжність гіллястого ланцюгового дробу для z ∈ G h , де G h

− двовимірний круг. Використовуючи цей результат, встановлено достатні умови рівномірної збіжності вищезгаданого гіллястого ланцюгового дробу на кожній компактній підмножині області H = ⋃ φ ∈ ( − π / 2 , π / 2 )

G φ , де G φ = { z ∈ C 2 : R e ( z 1 e − i φ ) < λ 1 cos φ , | R e ( z 2 e − i φ ) | < λ 2 cos φ , | z k | + R e ( z k e − 2 i φ ) < ν k cos 2 φ , k = 1 , 2 ; | z 1 z 2 | − R e ( z 1 z 2 e − 2 φ ) < ν 3 cos 2 φ } .