Властивості аналітичних розв'язків трьох подібних диференціальних рівнянь другого порядку

Abstract

Однолиста аналітична в D = { z : | z | < 1 } функція f ( z ) називається опуклою, якщо f ( D )

− опукла область. Добре відомо, що умова Re { 1 + z f ′′ ( z ) / f ′ ( z ) } > 0 , z ∈ D , є необхідною і достатньою для опуклості f . Функція f називається близькою до опуклої в D , якщо існує опукла в D функція Φ така, що Re ( f ′ ( z ) / Φ ′ ( z ) ) > 0 , z ∈ D . С.М. Шах вказав умови на дійсні параметри β 0 ,

β 1 ,

γ 0 ,

γ 1 ,

γ 2 диференціального рівняння z 2 w ′′ + ( β 0 z 2 + β 1 z ) w ′ + ( γ 0 z 2 + γ 1 z + γ 2 ) w = 0 , за яких існує цілий трансцендентний розв'язок f такий, що f і всі його похідні є близькими до опуклих в D . Нехай 0 < R ≤ + ∞ , D R = { z : | z | < R } і l

− додатна неперервна функція на [ 0 , R ) така, що ( R − r ) l ( r ) > C ,

C = const > 1. Аналітична в D R функція f називається обмеженого l -індексу, якщо існує N ∈ Z + таке, що | f ( n ) ( z ) | n ! l n ( | z | ) ≤ max { | f ( k ) ( z ) | k ! l k ( | z | ) : 0 ≤ k ≤ N } для всіх n ∈ Z + і z ∈ D R . Досліджено близькість до опуклості та обмеженість l -індексу для аналітичних в D розв'язків трьох аналогічних Шаху диференціальних рівнянь: z ( z − 1 ) w ′′ + β z w ′ + γ w = 0 , ( z − 1 ) 2 w ′′ + β z w ′ + γ w = 0 і ( 1 − z ) 3 w ′′ + β ( 1 − z ) w ′ + γ w = 0 . Незважаючи на подібність цих рівнянь, їх розв'язки мають різні властивості.