Про збалансовані та Люка-збалансовані числа, що є елементами k-узагальненої послідовності Фібоначчі

Abstract

Збалансове число n і балансир r є розв’язками діофантового рівняння 1 + 2 + ⋯ + ( n − 1 ) = ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + ⋯ + ( n + r ) . Відомо, що якщо число n є збалансованим, то 8 n 2 + 1 є повним квадратом, квадратний корінь з якого називають Люка-збалансованим числом. Для цілого k ≥ 2 символом ( F ( k ) n ) n позначимо k -узагальнену послідовність Фібоначчі, яка починається з 0 , … , 0 , 1 , 1 ( k чисел), а кожне наступне число є сумою k попередніх. Ми довели, що серед елементів k -узагальненої послідовності Фібоначчі єдиними збалансованими числами є 1 і 6930 , а Люка-збалансованими -- числа 1 і 3 . Отримані нами результати узагальнюють результати з [Fibonacci Quart. 2004, 42 (4), 330-340].