Порядкові оцінки рівномірних наближень сумами Зиґмунда на класах згорток періодичних функцій

Abstract

Cуми Зиґмунда Z s n − 1 ( f ; t ) функції f ∈ L 1

− це тригонометричні поліноми вигляду Z s n − 1 ( f ; t ) := a 0 2 + n − 1 ∑ k = 1

( 1 − ( k n ) s ) ( a k ( f ) cos k t + b k ( f ) sin k t ) ,

s > 0 , де a k ( f ) і b k ( f )

− коефіцієнти Фур'є функції f . Отримано точні порядкові оцінки рівномірних наближень сумами Зиґмунда Z s n − 1 на класах C ψ β , p . Ці класи складаються з 2 π -періодичних неперервних функцій f , які зображаються у вигляді згортки функцій, що належать одиничним кулям просторів L p , 1 ≤ p < ∞ , з фіксованими твірними ядрами Ψ β ( t ) ∼ ∞ ∑ k = 1

ψ ( k ) cos ( k t + β π 2 ) , Ψ β ∈ L p ′ , β ∈ R , 1 p + 1 p ′ = 1 , у випадку, коли добуток ψ ( k ) k s + 1 / p узагальнено монотонно зростає з деякою степеневою швидкістю, і, крім того, при 1 < p < ∞ виконується нерівність ∑ ∞ k = n ψ p ′ ( k ) k p ′ − 2 < ∞ , а при p = 1

− нерівність ∑ ∞ k = n ψ ( k ) < ∞ . Показано, що при виконанні зазначених умов суми Зиґмунда Z s n − 1 , а також суми Фейєра σ n − 1 = Z 1 n − 1 реалізують порядки найкращих рівномірних наближень тригонометричними поліномами на вказаних функціональних класах, а саме при 1 < p < ∞ E n ( C ψ β , p ) C ≍ E ( C ψ β , p ; Z s n − 1 ) C ≍ ( ∞ ∑ k = n

ψ p ′ ( k ) k p ′ − 2 ) 1 / p ′ ,

1 p + 1 p ′ = 1 , а при p = 1 E n ( C ψ β , 1 ) C ≍ E ( C ψ β , 1 ; Z s n − 1 ) C ≍ ∞ ∑ k = n

ψ ( k ) ,

cos β π 2 ≠ 0 , E n ( C ψ β , p ) C ≍ E ( C ψ β , p ; Z s n − 1 ) C ≍ ψ ( n ) n ,

cos β π 2 = 0 , де E n ( C ψ β , p ) C := sup f ∈ C ψ β , p

inf t n − 1 ∈ T 2 n − 1

∥ f ( ⋅ ) − t n − 1 ( ⋅ ) ∥ C , T 2 n − 1

− підпростір тригонометричних поліномів t n − 1 порядку n − 1 з дійсними коефіцієнтами, E ( C ψ β , p ; Z s n − 1 ) C := sup f ∈ C ψ β , p

∥ f ( ⋅ ) − Z s n − 1 ( f ; ⋅ ) ∥ C .